Í þessum kafla verða eingöngu tekin fyrir fylki að stærð [latex]2 \times 2[/latex]. Farið verður í ákveðu fylkis og andhverfu fylkis.

Ákveða fylkis

Ákveða  (e. determinant) fylkis [latex]A[/latex] er táknuð [latex]det(A)[/latex] og

ef [latex]A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}[/latex]  þá er  [latex]det(A) = det \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = ad-bc[/latex].

Athugið að ákveða fylkis er rauntala.

Forsenda fyrir því að fylki eigi sér ákveðu er að fylkið sé ferningsfylki, önnur fylki eiga sér ekki ákveðu.

Hér verður aðeins farið í hvernig hægt sé að reikna ákveðu [latex]2 \times 2[/latex] fylkja í höndunum, ákveður stærri ferningsfylkja er síðan hægt að reikna í tölvu, sjá kafla 8 Fylki í Excel.

Lausn:

[latex]det(A) = 2 \cdot 5 - 3 \cdot 4 = -2[/latex]

[latex]det(B) = 3 \cdot 4 -(-7) \cdot 2 = 26[/latex]

[latex]\square[/latex]

Andhverfa fylkis

Ef [latex]A[/latex] er ferningsfylki þá er fylkið [latex]B[/latex] sagt vera andhverfa (e. inverse) fylkisins [latex]A[/latex] ef og aðeins ef

[latex]AB = I[/latex] og [latex]BA = I[/latex]

þar sem [latex]I[/latex] er einingarfylki.

Lausn:

[latex]AB = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0.5 \\ 0 & 0.5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I[/latex]

og [latex]BA = \begin{bmatrix} 1 & 0.5 \\ 0 & 0.5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I[/latex]

því er [latex]B[/latex] andhverfa [latex]A[/latex].

[latex]\square[/latex]

Almennt er andhverfa fylkis [latex]A[/latex] táknuð [latex]A^{-1}[/latex].

Ef [latex]A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}[/latex] þá er andhverfa [latex]A[/latex] til ef og aðeins ef [latex]det(A) \neq 0[/latex] og reiknast:

[latex]A^{-1}=\frac{1}{det(A)}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}[/latex]

Forsendur fyrir því að fylki eigi sér andhverfu eru því tvær, það er (1) að fylkið sé ferningsfylki (sem er forsenda þess að ákveða þess sé til) og (2) að ákveðan sé ekki núll (ekki má deila með núlli).

Hér verður aðeins farið í hvernig hægt sé að reikna andhverfu [latex]2 \times 2[/latex] fylkja í höndunum, andhverfur stærri ferningsfylkja er síðan hægt að reikna í tölvu, sjá kafla 8 Fylki í Excel.

Lausn:

[latex]det(A) = 1\cdot 1-0\cdot (-1) = 1[/latex]

[latex]A^{-1} =\frac{1}{det(A)} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -(-1) & 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}[/latex]

[latex]det(B) = 2\cdot 5 - 3\cdot 4 = -2[/latex]

[latex]B^{-1} =\frac{1}{det(B)} \begin{bmatrix} 5 & -3 \\ -4 & 2 \end{bmatrix} = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} 5 & -3 \\ -4 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2.5 & 1.5 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}[/latex]

[latex]\square[/latex]

Í myndbandinu (5:32 mín.) er sýnt hvernig ákveða og andhverfa [latex]2 \times 2[/latex] fylkja er reiknuð. Ath. Snemma í myndbandinu er mismælir höfundur sig. Rétt er að det stendur fyrir determinant sem hefur verið þýtt sem ákveða á íslensku:

https://youtu.be/EWyNGrSzHXU