Í þessum hluta verður farið í reikniaðgerðir fylkja, það er margföldum með fasta, samlagningu og margföldun fylkja. Þá verða bylt fylki líka tekin fyrir hér.

Fylki margfaldað með fasta

Þegar fylki er margfaldað með fasta (tölu), [latex]k[/latex], þá er sérhvert stak fylkisins margfaldað með [latex]k[/latex]-inu, það er

Ef [latex]A=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ e & c \end{bmatrix}[/latex] þá er [latex]kA=\begin{bmatrix} ka & kb \\ kc & kd \\ ke & kc \end{bmatrix}[/latex].

Lausn:

[latex]3A = \begin{bmatrix} 3\cdot 3 & 3\cdot (-1) \\ 3\cdot (-2) & 3\cdot 4 \\ 3\cdot 2 & 3\cdot 1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 9 & -3 \\ -6 & 12 \\ 6 & 3 \end{bmatrix}[/latex] og [latex]-\frac{1}{2} B =\begin{bmatrix} -2 & -1 & -\frac{1}{2} \\ 1 & -\frac{3}{2} & -3 \end{bmatrix}[/latex]

[latex]\square[/latex]

Í þessu myndbandi (1:32 mín) er sýnt hvernig fylki er margfaldað með fasta:

https://youtu.be/s6ox8uxFtRg

Samlagning fylkja

Þegar leggja skal saman tvö fylki sem eru jafn stór þá eru stök í sömu sætum lögð saman og mynda þannig nýtt fylki, á Mynd 3.1 er þetta sýnt sem rautt + grænt = blátt.

Mynd 3.1 Samlagning fylkja

Lausn:

[latex]A + B = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 4 & 6 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 7 & 8 \\ -6 & 5 \\ -4 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+7 & 2+8 \\ 3+(-6) & 4+5 \\ 4+(-4) & 6+3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 10 \\ -3 & 9 \\ 0 & 9 \end{bmatrix}[/latex]

[latex]\square[/latex]

Nú er frádráttur mögulegur þar sem [latex]A-B=A+(-1)B[/latex]. Þetta þýðir að sérhvert stak í fylkinu B er dregið frá staki í sama sæti í fylkinu A.

Lausn:

[latex]A-B = \begin{bmatrix} 1-7 & 2-8 \\ 3-(-6) & 4-5 \\ 4-(-4) & 6-3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -6 & -6 \\ 9 & -1 \\ 8 & 3 \end{bmatrix}[/latex]

[latex]\square[/latex]

Forsenda fyrir því að hægt sé að leggja saman fylki er að fylkin séu af sömu stærð, að það eru bæði jafnmargar línur og jafnmargir dálkar í fylkjunum.

Samlagningu fylkja má sjá í myndbandinu (2:42 mín.):

https://youtu.be/SVBLQAHMm3w

Margföldun fylkja

Margföldun fylkja er aðeins flóknari en reikniaðgerðirnar hér á undan.

Þegar margfalda skal saman fylkin [latex]A[/latex] og [latex]B[/latex] þá fæst nýtt fylki, köllum það [latex]C[/latex] þannig að [latex]C=AB[/latex]. Í sæti [latex]ij[/latex] í fylki [latex]C[/latex] kemur summa margfeldis staka í línu [latex]i[/latex] í fylkinu [latex]A[/latex] og staka í dálki [latex]j[/latex] í fylkinu [latex]B[/latex], eins og sýnt er á Mynd 3.2.

Mynd 3.2 Margföldun fylkja

Lausn:

[latex]AB= \begin{bmatrix} 2\cdot 3 + 3\cdot 1 & 2\cdot (-2) + 3\cdot 5 \\ (-1)\cdot 3 + 4\cdot 1 & (-1)\cdot (-2) + 4\cdot 5 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 9 & 11 \\ 1 & 22 \end{bmatrix}[/latex]

[latex]BA= \begin{bmatrix} 3\cdot 2 + (-2)\cdot (-1) & 3\cdot 3 + (-2)\cdot 4 \\ 1\cdot 2 + 5\cdot (-1) & 1\cdot 3 + 5\cdot 4 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 8 & 1 \\ -3 & 23 \end{bmatrix}[/latex]

[latex]\square[/latex]

Af þessu litla dæmi þá sjáum við að röð fylkjanna í skiptir máli þegar fylki eru margfölduð saman, víxlregla margföldunar gildir ekki um fylki, það er[latex]AB \neq BA[/latex].

Forsenda fyrir því að hægt sé að margfalda saman fylki er að fjöldi dálka í fremra fylkinu (vinstra megin) þarf að vera jafn fjölda lína í aftara fylkinu (hægra megin). Þannig að forsenda fyrir að  [latex]A\cdot B[/latex]  sé möguleg er að stærð [latex]A[/latex] sé  [latex]m \times q[/latex]  og stærð [latex]B[/latex] sé [latex]q \times n[/latex] og þá verður nýja fylkið [latex]A\cdot B[/latex] að stærð [latex]m \times n[/latex], sjá Mynd 3.3.

Mynd 3.3 Stærðarforsendur fyrir margfeldi fylkja og stærð útkomufylkisins

Margföldun fylkja er sýnd í þessu myndbandi (11:13 mín):

https://youtu.be/VYW__PnRVeQ

Tökum annað sýnidæmi.

Lausn:

Fylkið [latex]A[/latex] er [latex]2\times 3[/latex] fylki og [latex]B[/latex] er [latex]3\times 3[/latex], því er hægt að margfalda saman fylkin þar sem fjöldi dálka í [latex]A[/latex] er jafn fjölda lína í [latex]B[/latex] og útkomufylkið verður [latex]2 \times 3[/latex] fylki, það er:

[latex]AB= \begin{bmatrix} 4\cdot 3 + 2\cdot 6 + (-3)\cdot 1 & 4\cdot (-2) + 2\cdot (-4) + (-3)\cdot 5 & 4\cdot (-1) + 2\cdot (0,5) + (-3)\cdot 2\\ (-1)\cdot 3 + 7\cdot 6 + 5\cdot 1 & (-1)\cdot (-2) + 7\cdot (-4) + 5\cdot 5 & (-1)\cdot (-1) + 7\cdot (0,5) + 5\cdot 2 \end{bmatrix}[/latex]

[latex]=\begin{bmatrix} 21 & -31 & -9\\ 44 & -1 & 14.5 \end{bmatrix}[/latex]

[latex]\square[/latex]

Hins vegar er ekki hægt að framkvæma margföldunina [latex]BA[/latex], þar sem þá er verið að reyna að margfalda saman [latex](3\times 3)[/latex] og [latex](2\times 3)[/latex] fylki, fjöldi dálka í fremra fylkinu, [latex]B[/latex], eru [latex]3[/latex] sem ekki er jafnt fjölda lína í seinna fylkinu, [latex]A[/latex], sem eru [latex]2[/latex]. En það þarf að fara saman sbr. grænu örvarnar á Mynd 3.3 hér ofar. Forsendur fyrir margföldun eru því brostnar.

Bylt fylki

Að bylta fylki (e. transpose matrix) þýðir að línur verða að dálkum og dálkar verða að línum. Þetta er táknað með uppskrifuðu stóru [latex]T[/latex] hægra megin við fylkið ([latex]T[/latex] fyrir Transpose). Þannig að fylkið [latex]A[/latex] bylt er táknað með [latex]A^T[/latex].

Lausn:

[latex]A^T= \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}[/latex].

[latex]\square[/latex]

Heimildir mynda

Mynd 3.1 Quartl, CC BY-SA 3.0 hjá Wikimedia Commons, sótt 19.apr.2022 á
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Matrix_addition_qtl2.svg.

Mynd 3.2 Svjo, CC BY-SA 4.0 hjá Wikimedia Commons, sótt 19.apr.2022 á
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:MatrixMultiplication.png.