Hér eru tvívíðar línulegar varpanir (e. 2-D transformations) kynntar.

Tekið verður fyrir:

• Skölun (kvöðrun, stríkkun, e. Scaling, scale).
• Snúningur (e. Rotation).
• Hliðrun (e. Translation).
• Speglun um línu (e. Reflection).
• Samsettar varpanir.

Einungis verða teknar fyrir varpanir (e. transformations) n-hyrninga, vigra og punkta.

Skölun myndar

Með skölun myndar (e. scaling, scale) er átt við stækkun eða minnkun myndar lárétt um a-falt eða lóðrétt um b-falt. Ef a = b þá breytast hlutföll myndarinnar ekki (e. uniform scaling), myndin stækkar, ef a = b > 1, eða minnkar, ef 0 < a = b < 1, jafnt lárétt sem lóðrétt. Þetta myndband (á ensku) útskýrir skölunina myndrænt:

Exam Solutions, tengill á myndbandið (6,46 mín.)

Hins vegar ef a ≠ b þá er teygt á myndinni meira í aðra áttina en hina (e. non-uniform scaling). Orðin kvöðrun og stríkkun hafa einnig verið notuð yfir skölun.

Lausn:

Búum fyrst til punktafylki þannig að punktarnir (það er að segja stöðuvigrar þeirra) koma lóðrétt (sem dálkvigrar) hver á eftir öðrum

[latex]P=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1.5\\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}[/latex].

Síðan búum við til skölunarfylki sem stækkar bæði tvöfalt lárétt og tvöfalt lóðrétt. Köllum fylkið [latex]S[/latex] fyrir Scaling á ensku.

[latex]S=\begin{bmatrix} 2 & 0\\ 0 & 2 \end{bmatrix}[/latex].

Síðan margföldum við punktafylkið með skölunarfylkinu þannig að skölunarfylkið sé vinstra megin og fáum út nýtt punktafylki [latex]P_1[/latex] þar sem

[latex]P_1=SP=[/latex] [latex]\begin{bmatrix} 2 & 0\\ 0 & 2 \end{bmatrix}[/latex] [latex]\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1.5\\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}[/latex] [latex]=\begin{bmatrix} 2 & 4 & 3\\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}[/latex]

sem lýsir nýju hornpunktunum sem dálkvigrum og eru þeir því (2,0), (4,0) og (3,4), sjá rauðlitaða þríhyrninginn á myndinni. Eins og sjá má, ef myndin er skoðuð vel, þá hefur flatarmál þríhyrningsins fjórfaldast.

[latex]\square[/latex]

Almennt gildir að þegar skala skal mynd a-falt lárétt og b-falt lóðrétt þá er skölunarfylkið:

[latex]S=\begin{bmatrix} a & 0\\ 0 & b \end{bmatrix}[/latex].

Punktafylki allra hornpunkta, [latex]P[/latex] er margfaldað með skölunarfylkinu, þannig að skölunarfylkið sé vinstra megin. Nýja punktafylkið verður því [latex]P_1=S P[/latex].

Snúningur myndar

Með snúningi myndar (e. rotation) er átt við að mynd er snúið um ákveðið horn um tiltekinn fastapunkt. Ef enginn fastapunktur er gefinn þá skal snúa um núll-punktinn. Í þessum kafla er mynd snúið um tilteknar gráður með núllpunkt, (0,0), sem fastapunkt.

Lausn;

Búum fyrst til punktafylki eins og í sýnidæmi 8.1

[latex]P=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1.5\\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}[/latex].

Síðan búum við til snúningsfylki sem snýr rangsælis um 30° (hér er gott að rifja upp að jákvæð horn í stærðfræði eru rangsælis). Köllum fylkið [latex]R[/latex] fyrir Rotation á ensku. Snúningsfylkið er:

[latex]R=\begin{bmatrix} \cos(30^\circ) & -\sin(30^\circ)\\ \sin(30^\circ) & \cos(30^\circ) \end{bmatrix}[/latex].

Síðan margföldum við punktafylkið með snúningsfylkinu, þannig að snúningsfylkið sé vinstra megin og fáum út nýtt punktafylki [latex]P_1[/latex] það er:

[latex]P_1=R P=[/latex] [latex]\begin{bmatrix} \cos(30^\circ) & -\sin(30^\circ)\\ \sin(30^\circ) & \cos(30^\circ) \end{bmatrix}[/latex] [latex]\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1.5\\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}[/latex] [latex]=\begin{bmatrix} 0.87 & 1.73 & 0.30\\ 0.5 & 1 & 2.48 \end{bmatrix}[/latex]

sem lýsir nýju hornpunktunum sem dálkvigrum og eru þeir því (0.87, 0.5), (1.73, 1) og (0.3, 2.48), sjá rauðlitaða þríhyrninginn á myndinni.

[latex]\square[/latex]

Almennt gildir þegar snúa skal um θ um núllpunkt þá er punktafylkið margfaldað með snúningsfylkinu [latex]R[/latex] þannig að snúningsfylkið sé vinstra megin. Almenna snúningsfylkið er:

[latex]R=\begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta)\\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix}[/latex].

Nýja punktafylkið verður því [latex]P_1=R P[/latex].

Í eftirfarandi myndbandi (á ensku) er útskýrt hvers vegna snúningsfylkið er eins og það er:

Exam Solutions, tengill á myndbandið (8,43 mín.)

Hliðrun myndar

Þegar mynd er hliðruð (e. translation) með fylkjum þá er hún færð til í hnitakerfinu án þess að lögun hennar breytist og hún snýr eins og fyrir hliðrun.

Ef hliðra skal punkti [latex](x_0,y_0)[/latex] eða vigri [latex]\vec{v} = \begin{bmatrix} x_0 \\ y_0 \end{bmatrix}[/latex] um a einingar lárétt og b einingar lóðrétt þá fæst punkturinn [latex](x_1,y_1) = (x_0+a, y_0+b)[/latex] eða vigurinn

[latex]\begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} x_0+a \\ y_0+b \end{bmatrix}[/latex].

Köllum almenna hliðrunarfylkið [latex]T[/latex] fyrir Translation á ensku. Það er 3×3 fylki sem er byggt upp líkt og 3×3 einingarfylki nema uppi til hægri er hliðrunarvigurinn [latex]\vec{t} = \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}[/latex]. Hliðrunarfylkið er því:

[latex]T=\begin{bmatrix} 1 & 0 & a\\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}[/latex].

Bætum við línu neðst í vigurinn [latex]\vec{a}_0[/latex] með gervihniti, tölunni 1, þannig að nú er [latex]\vec{v} = \begin{bmatrix} x_0 \\ y_0 \\ 1 \end{bmatrix}[/latex] og til að fá nýja vigurinn eftir hliðrun þá margfaldast hliðrunarfylkið við vigurinn þannig að hliðrunarfylkið sé vinstra megin.

Hliðraði (nýji) vigurinn með gervihniti í línu þrjú verður:

[latex]\begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \\ 1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1 & 0 & a\\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_0 \\ y_0 \\ 1 \end{bmatrix}[/latex].

Lausn:

Búum til punktafylki þannig að stöðuvigrar punktanna koma í efstu tvær línurnar og bætum við gervihnitum í þriðju línu, líkt og gert var við vigurinn hér að ofan. Punktafylkið verður nú:

[latex]P=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1.5 \\ 0 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}[/latex]

og hliðrunarfylkið er:

[latex]T=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}[/latex].

Til að fá nýja punktafylkið er hliðrunarfylkið margfaldað með punktafylkinu þannig að hliðrunarfylkið er vinstra megin,

[latex]P_1=T P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1.5\\ 0 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 2 & 3 & 2.5 \\ -2 & -2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}[/latex]

Nýju hornpunktarnir koma lóðrétt, sem dálkvigrar með gervihnitinu 1 í þriðju línu. Því eru nýju hornpunktarnir (2,-2), (3,-2) og (2.5, 0), sjá rauða þríhyrninginn á myndinni.

[latex]\square[/latex]

Speglun myndar um línu

Í þessum kafla verður fyrst fjallað um speglum myndar (e. reflection) um ása hnita-kerfisins, þá næst speglun um línurnar [latex]y=x[/latex] og [latex]y=-x[/latex].

(i) Speglun um x-ás

Þegar punkti eða vigri er speglað er um x-ás þá er x-hnitið óbreytt en y-hnitið skiptir um formerki. Þannig að vigurinn [latex]\vec{a}_0 = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}[/latex] verður [latex]\vec{a}_1 = \begin{bmatrix} x \\ -y \end{bmatrix}[/latex].

Slíkt fæst með því að margfalda vigurinn [latex]\vec{a}_0[/latex] með speglunarfylkinu um [latex]x[/latex]-ás þannig að speglunarfylkið sé vinstra megin. Speglunarfylkið um x-ás er:

[latex]Ref_x = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}[/latex].

Segja má að þetta speglunarfylki samanstandi af dálkvigrunum [latex]\vec{i}[/latex] (vinstri dálkur) og [latex]-\vec{j}[/latex] (hægri dálkur), þar sem vigurinn [latex]\vec{i} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}[/latex] speglast í sjálfan sig (er óbreyttur) en vigurinn [latex]\vec{j} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}[/latex] speglast í [latex]-\vec{j} = \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \end{bmatrix}[/latex] um [latex]x[/latex]-ásinn.

Hér er speglunarfylkið nefnt [latex]Ref[/latex] fyrir Reflection á ensku, og fótskriftin vísar í að speglað er um x-ás. Þú getur skoðað eftirfarandi myndband (á ensku) sem útskýrir speglun um x-ás:

Exam Solutions, tengill á myndbandið (5,52 mín.)

Lausn:

Margföldum vigurinn [latex]\vec{a} =\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}[/latex] með snúningsfylkinu [latex]Ref_x[/latex] þannig að speglunarfylkið er vinstra megin, þá fæst:

[latex]\begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \end{bmatrix} = Ref_x \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix}[/latex].

Á myndinni sést hvernig græni vigurinn speglast um x-ás í þann rauða.

[latex]\square[/latex]

(ii) Speglun um y-ás

Að spegla um y-ás er hliðstætt og að spegla um x-ás en huga þarf vel að hver munurinn er.

Þegar vigri eða punkti er speglað er um y-ás þá skiptir x-hnitið um formerki en y-hnitið helst óbreytt. Þannig að [latex]\vec{a}_0 = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}[/latex] verður [latex]\vec{a}_1 = \begin{bmatrix} -x \\ y \end{bmatrix}[/latex].

Slíkt fæst með því að margfalda vigurinn [latex]\vec{a}_0[/latex]  með speglunarfylkinu, þannig að speglunarfylkið sé vinstra megin. Speglunarfylkið um y-ás er:

[latex]Ref_y = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}[/latex].

Þetta speglunarfylki samanstendur af dálkvigrunum [latex]-\vec i[/latex] (vinstri dálkur, því [latex]\vec i[/latex] speglast í [latex]-\vec i[/latex] og [latex]\vec j[/latex] (hægri dálkur, því [latex]\vec j[/latex] speglast í sjálfan sig, er óbreyttur) þegar speglað er um [latex]y[/latex]-ás.

Þú getur skoðað þetta myndband (á ensku) sem útskýrir speglun um y-ásinn:

Exam Solutions, tengill á myndbandið (5,57 mín.)

Lausn:

Margföldum vigurinn [latex]\vec{a}[/latex] með [latex]Ref_y[/latex] þannig að snúningsfylkið sé vinstra megin. Þá fæst

[latex]\begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \end{bmatrix} = Ref_y \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix}[/latex].

Á myndinni sést hvernig græni vigurinn speglast um y-ás í þann rauða.

[latex]\square[/latex]

(iii) Speglun um línuna y = x

Skoðum hvernig einingarvigrarnir [latex]\vec{i}=\begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix}[/latex] og [latex]\vec{j}=\begin{bmatrix} 0\\1 \end{bmatrix}[/latex] speglast um línuna [latex]y=x[/latex]. Þeir speglast í hvorn annan það er [latex]\vec i[/latex] speglast í [latex]\vec j[/latex] og [latex]\vec j[/latex] í [latex]\vec i[/latex], sjá mynd.Speglunarfylkið um línuna [latex]y=x[/latex] samanstendur því af dálkvigrunum [latex]\vec{j}[/latex] (vinstri dálkur) og [latex]\vec{i}[/latex] (hægri dálkur) það er:

[latex]Ref_{y=x} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}[/latex].

Eftirfarandi myndband (á ensku) útskýrir speglunarfylkið um línuna [latex]y=x[/latex]:

Exam Solutions tengill á myndbandið (6,17 mín.)

Lausn:

Nú er snúningsfylkið 2×2 fylki því þarf ekki gervihnit í punktafylkið, það er því:

[latex]P=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1.5 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}[/latex]

og speglunarfylkið er sama og hér að ofan:

[latex]Ref_{y=x} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}[/latex].

Nýja punktafylkið fæst með því að margfalda saman fylkin þannig að snúningsfylkið er vinstra megin, það er:

[latex]P_1 = Ref_{y=x} P= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1.5 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 1.5 \end{bmatrix}[/latex].

Nýju hornpunktar þríhyrningsins eru því (0,1), (0,2) og (2, 1.5). Á myndinni sést hvernig græni þríhyrningurinn speglast í þann rauða.

[latex]\square[/latex]

(iv) Speglun um línuna y = – x

Skoðum hvernig einingarvigrarnir [latex]\vec{i}=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}[/latex] og [latex]\vec{j}=\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}[/latex] speglast um línuna [latex]y=-x[/latex].

Hér speglast vigurinn [latex]\vec{i}[/latex] í vigurinn  [latex]-\vec{j}=\begin{bmatrix} 0 \\- 1 \end{bmatrix}[/latex] og vigurinn [latex]\vec{j}[/latex] speglast í vigurinn [latex]-\vec{i}=\begin{bmatrix} -1 \\ 0 \end{bmatrix}[/latex], sjá mynd.

Speglunarfylkið um línuna [latex]y=-x[/latex] samanstendur því af dálkvigrunum [latex]-\vec{j}[/latex] (vinstri dálkur) og [latex]-\vec{i}[/latex] (hægri dálkur) það er:

[latex]Ref_{y=-x} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\- 1 & 0 \end{bmatrix}[/latex].

Myndbandið (á ensku) hér á eftir útskýrir speglunarfylkið um línuna [latex]y=-x[/latex]
(vantar mínusinn fyrir fram [latex]x[/latex] á forsíðuna hér):

Exam Solution, tengill á myndbandið (5,39 mín.)

Lausn:

Eins og í sýnidæmi 6 þarf ekki gervihnit í punktafylkið, svo það er:

[latex]P=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1.5 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}[/latex]

og speglunarfylkið er sama og hér að ofan:

[latex]Ref_{y=-x} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}[/latex].

Nýja punktafylkið fæst með því að margfalda saman fylkin þannig að snúningsfylkið er vinstra megin, það er:

[latex]P_1 = Ref_{y=-x} P= \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1.5 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -2 \\ -1 & -2 & -1.5 \end{bmatrix}[/latex].

Nýju hornpunktar þríhyrningsins eru því (0,-1), (0,-2) og (-2, -1.5). Á myndinni sést hvernig græni þríhyrningurinn speglast í þann rauða.

[latex]\square[/latex]

Samsettar varpanir

Hér verða tekin þrjú tilfelli af samsettum vörpunum það er:

• Skölun út frá punktinum [latex](a,b) \neq (0,0)[/latex]
• Snúa um punktinum [latex](a,b) \neq (0,0)[/latex]
• Spegla um línuna [latex]y=hx+q[/latex]

(i) Skalað út frá punktinum (a,b)

Þegar skala skal um r einingar lárétt og s einingar lóðrétt um punktinn [latex]A=(a,b)[/latex] þá þarf fyrst að hliðra í núllpunkt  svo skala og að lokum hliðra til baka.

Skv. 2. kafla er skölunarfylkið [latex]S=\begin{bmatrix} r & 0 \\ 0 & s \end{bmatrix}[/latex].

Nú þarf að hafa það í huga að hliðrunarfylkið er 3×3 fylki því er nauðsynlegt að útvíkka skölunarfylkið sem er í grunninn 2×2 fylki yfir í 3×3 fylki svo hægt sé að margfalda saman. Það er gert með því að hugsa sér 3×3 einingarfylki og setja skölunarfylkið ofan á efst til vinstri.

Skölunarfylkið verður þá þannig útvíkkað:

[latex]S=\begin{bmatrix} r & 0 & 0 \\ 0 & s & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}[/latex].

Aðgerðirnar verða nú:

1. hliðra í núllpunkt um [latex]-\overrightarrow{OA} = \begin{bmatrix} -a \\ -b \end{bmatrix}[/latex], köllum þetta hliðrunarfylki [latex]T_1[/latex],
2. skala um r lárétt og s lóðrétt, [latex]S[/latex],
3. hliðra til baka nú um [latex]\overrightarrow{OA} = \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}[/latex], köllum þetta hliðrunarfylki [latex]T_2[/latex].

Athugið að aðgerðarröðin er frá hægri til vinstri og punktafylkið sjálft myndi koma lengst til hægri. Munið að röð skiptir máli. Fylkin sem þarf að margfalda saman eru því:

[latex]T_2 S T_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & a \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} r & 0 & 0\\ 0 & s & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & -a \\ 0 & 1 & -b \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}[/latex].

Lausn:

Fylkin sem þarf að margfalda saman eru:

[latex]T_2 S T_1P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} P = \begin{bmatrix} 2 & 0 & -1\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} P[/latex]

Nú þarf að margfalda gamla punktafylkið með gervihnitum við.
Nýja punktafylkið með gervihnitum verður þá:

[latex]P_1 = \begin{bmatrix} 2 & 0 & -1\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1.5\\ 0 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2\\ 0 & 0 & 6 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}[/latex].

Nýju punktarnir eru því (1,0), (3,0) og (2,6). Á myndinni sést gamli þríhyrningurinn grænn og sá nýji rauður, sjá mynd

[latex]\square[/latex]

(ii) Snúið um punktinn (a,b)

Þegar snúa skal um horngildið θ um punktinn [latex](a,b)\neq (0,0)[/latex] þá þarf að:

1. hliðra í núllpunkt um [latex]-\vec{t} = \begin{bmatrix} -a \\ -b \end{bmatrix}[/latex], köllum þetta hliðrunarfylki [latex]T_1[/latex],
2. snúa um θ, [latex]R[/latex],
3. hliðra til baka um [latex]\vec{t} = \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}[/latex], köllum þetta hliðrunarfylki [latex]T_2[/latex].

Hér þarf eins og ofan að útvíkka snúningsfylkið úr 2×2 fylki yfir í 3×3 fylki og það er gert hliðstætt.

Þannig að snúningsfylkið útvíkkað verður:

[latex]S = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) & 0\\ \sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}[/latex].

Því eru fylkin sem þarf að margfalda saman:

[latex]T_2 S T_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & a \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) & 0\\ \sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & -a \\ 0 & 1 & -b \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}[/latex].

(iii) Speglað um línuna y = hx + q

Þegar spegla skal um línu [latex]y=hx+q[/latex] sem ekki fer í gegnum núllpunkt, það er [latex]q \neq 0[/latex], þarf fyrst að hliðra línunni í núllpunkt, þá er henni snúið í annan ásinn t.d. x – ás, síðan speglað um ásinn og svo þarf að fara til baka, þ.e. snúa til baka, og hliðra til baka.

Köllum sefnuhorn línunnar θ. Ef línan er ekki lóðrétt þá reiknast stefnuhornið [latex]\theta=\arctan(h) = tan^{-1}(h)[/latex], þar sem [latex]h[/latex] er hallatalan.

Það sem þá þarf að gera er að:

1. hliðra í núllpunkt um [latex]-\vec{t} = -\begin{bmatrix} 0 \\ q \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ -q \end{bmatrix}[/latex], köllum þetta hliðrunarfylki [latex]T_1[/latex],
2. snúa í x-ás um hornið [latex](-\theta)[/latex], köllum þetta snúningsfylki [latex]R_1[/latex],
3. spegla um x-ás, köllum speglunarfylkið [latex]Ref_x[/latex],
4. snúa til baka um hornið [latex]\theta[/latex], köllum þetta snúningsfylki [latex]R_2[/latex],
5. hliðra til baka um [latex]\vec{t} = \begin{bmatrix} 0 \\ q \end{bmatrix}[/latex], köllum þetta hliðrunarfylki [latex]T_2[/latex].

Hér þarf að útvíkka speglunarfylkið um [latex]x[/latex]-ás hliðstætt og gert var hér fyrir ofan við skölunar- og snúningsfylkin. Speglunarfylkið verður því:

[latex]Ref_x = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}[/latex].

Fylkin sem þá þarf að margfalda saman eru því:

[latex]T_2R_2 Ref_x R_1 T_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & q \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) & 0\\ \sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos(-\theta) & -\sin(-\theta) & 0\\ \sin(-\theta) & \cos(-\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -q \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}[/latex].

Hægt er að æfa sig á gagnvirkum verkefnum á Khan Akademi.

Heimildir myndbanda

Exam Solutions af youtube / ExamSolutions.net.