3

Le mathématicien italien Leonardo Fibonacci [3] a donné son nom à une suite mathématique. Il est connu pour avoir introduit et popularisé en Europe et en Occident la numérotation indo-arabe qui a remplacé, pour les calculs, la notation romaine peu adaptée aux opérations arithmétiques.

Dans la suite de Fibonacci, il n’est pas nécessaire de mémoriser chacun des termes ou nombres de la suite  infinie, il suffit de se rappeler sa règle de construction. Soit [latex]F_n[/latex] le [latex]ni\grave eme[/latex] terme de cette suite et en commençant avec [latex]n = 0[/latex], la suite de Fibonacci [latex]F_0, F_1, F_2, \ldots[/latex] peut être définie de la façon suivante :

  • [latex]F_0 = 0[/latex]
  • [latex]F_1 = 1[/latex]
  • [latex]F_n = F_{(n - 2)} + F_{(n - 1)}[/latex] pour [latex]n \ge 2[/latex]

Si on commence à lister la suite de Fibonacci [latex]0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, \ldots[/latex], on va constater qu’elle croît très vite et de façon exponentielle. Si on en vient à chercher son taux de croissance, on va trouver un nombre qui tend vers le nombre d’or, défini en géométrie de façon à ce que pour deux longueurs [latex]a[/latex] et [latex]b[/latex] : [latex]\frac{a + b}{a} = \frac{a}{b}[/latex].

Le découpage d’un segment en deux longueurs vérifiant cette propriété est appelé, par le mathématicien Euclide, découpage en « extrême et moyenne raison ». Le nombre d’or est souvent désigné par la lettre [latex]\phi[/latex] (phi).

Ce nombre irrationnel est l’unique solution positive de l’équation [latex]x^2 = x + 1[/latex] et il vaut : [latex]\frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,6180339887[/latex]

On peut vérifier que le rapport de deux nombres de Fibonacci successifs [latex]\frac{F_{n+1}}{F_n}[/latex] tend effectivement vers [latex]\phi[/latex] lorsque [latex]n[/latex] grandit.

Le mathématicien Jacques Philippe Marie Binet a mis au point la formule permettant de calculer directement le [latex]ni\grave eme[/latex] terme de la suite de Fibonacci : [latex]F_n = \frac{(1 + \sqrt{5})^n - (1 - \sqrt{5})^n}{2^n \times \sqrt{5}}[/latex], dans laquelle on aperçoit la présence du nombre d’or. Alors que la valeur du premier terme [latex]\frac{(1 + \sqrt{5})^n}{2^n \times \sqrt{5}}[/latex] augmente avec la valeur de [latex]n[/latex], la valeur du deuxième terme [latex]\frac{(1 - \sqrt{5})^n}{2^n \times \sqrt{5}}[/latex] décroît. Pour une valeur de [latex]n[/latex] suffisamment grande, la formule de Binet devient simplement :

[latex]F_n = \frac{(1 + \sqrt{5})^n}{2^n \times \sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \times \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^n = \frac{\phi ^n}{\sqrt{5}}[/latex]

 

Licence

Partagez ce livre