VIII. Técnicas dos séculos XX e XXI
Clase de conxunto e forma primaria
Brian Moseley and Megan Lavengood
Puntos principais
- Unha clase de conxunto é un grupo de conxuntos de clases de alturas que están relacionados por transposición ou inversión.
- As clases de conxunto reciben o nome da súa forma primaria: a versión do conxunto que foi trasposto a cero e é máis compacto no lado esquerdo (comparado coa súa inversión).
- Podes calcular a forma primaria de xeito matemático ou no reloxo.
- Todas as clases de conxunto posibles están resumidas na táboa de clases de conxunto e están dispoñibles na Wikipedia e moitos outros sitios web.
A maneira máis simple de definir clase de conxunto é “un grupo de conxuntos de clases de altura que están relacionados por transposición ou inversión”. Inicialmente, isto podería parecer confuso, mais só é outro tipo de clase. Como xa aprendiches noutros capítulos, a “clase” é só unha forma de dicir “grupo”. Lembra outras clases que xa coñeces:
- Altura vs. clase de altura: Unha altura aparece nunha oitava concreta, e adoitamos concibila cunha escrita determinada. Unha clase de altura é un grupo de alturas que está relacionado por transposición ou inversión.
- Intervalo vs. clase de intervalo: Un intervalo ten unha distancia específica en semitóns, mentres que unha clase de intervalo é un grupo de intervalos que están relacionados por inversión ou por oitava.
Introdución
A distinción entre conxunto de clases de altura e clase de conxunto (clase de conxunto de clases de altura) é o tema deste capítulo. A razón pola cal a “clase de conxunto” pode parecer máis confusa é que implica dous tipos de grupos: clases e conxuntos.
- Unha clase é un grupo que garda algún tipo de relación.
- Un conxunto é un grupo que non ten necesariamente que gardar ningún tipo de relación.
Unha boa analoxía é a forma en que se categorizan os seres vivos na bioloxía. As plantas da mesma clase están relacionadas bioloxicamente de xeito específico: Angiospermae é unha clase de plantas que produce flores. Porén, podemos agrupar plantas por outras razóns: o grupo de plantas que hai no xardín dalgunha persoa, por exemplo, sería un conxunto de plantas, mais non unha clase de plantas.
Así, un conxunto de clases de altura (pitch-class set) é un grupo de alturas que o analista decidiu agrupar por algunha razón. A clase de conxunto de clases de altura é un termo algo complicado, por iso os teóricos decidiron reducilo ás últimas dúas palabras, clase de conxunto (set class). Este é o agrupamento de grupos de alturas están relacionados por transposición ou inversión.
Por que transposión e inversión?
Unha maneira de analizarmos unha gran parte do repertorio postonal é estudar as relacións de transposición e inversión que hai entre os conxuntos de clases de altura. Repara neste exemplo breve: dúas pasaxes do “Suxeito é Reflexión” de Béla Bartók’s (Exemplo 1). Se comparas as dúas pasaxes, os dous conxuntos que contén a man dereita, [10, 0, 2, 3, 5] e [3, 5, 7, 8, 10], están relacionados T5. Os dous conxuntos da man esquerda gardan a mesma relación..Agora céntrate en cada pasaxe: as mans dereita e esquerda están relacionadas por inversión. Na primeira pasaxe, gardan unha relación de I8; na segunda, I6.
Exemplo 1. Tn and In relationships between passages in “Subject and Reflection.”
Para explicarmos de xeito rápido por que estes fragmentos musicais soan igual, podemos dicir que son todos membros da mesma clase de conxunto.
As tríades maior e menor poden ser útiles para formularmos un exemplo que sexa máis familiar. As tríades maior e menor soan “igual” comparadas cos clústers de notas, as harmonías cuartais ou mesmo as tríades aumentada e diminuída. A razón disto é que todas as tríades maiores e menores están relacionadas por transposición e inversión.
- As tríades da mesma calidade están relacionadas por transposición.
- A T2 dunha tríade de Dó maior [0, 4, 7] é unha tríade de Re maior [2, 6, 9]
- A T2 dunha tríade de La menor [9, 0, 4] é unha tríade de Si menor [11, 2, 6].
- As tríades da calidade oposta (maior vs. menor) están relacionadas por inversión.
- A I0 dunha tríade de Dó maior [0, 4, 7] é unha tríade de Fa menor [5, 8, 0].
- A I2 dunha tríade de Dó maior [0, 4, 7] é unha tríade de Sol menor G [7, 10, 2].
Forma primaria
Tal como os conxuntos de clases de altura reciben o nome da súa forma normal, as clases de conxunto reciben o nome da súa forma primaria: a versión do conxunto que foi trasposto a cero e é máis compacto á esquerda (comparado coa súa inversión).
As clases de conxunto reciben o nome da súa forma primaria, tal e cal.
Repara en que a forma primaria só é unha forma de denominar a clase de conxunto. Non ten ningún status especial, é dicir, non é significativo que unha compositora ou compositor empregue [0, 1, 4] como conxunto de clases de altura só porque ten os mesmos números que a forma primaria (014).
Proceso matemático
Este é o proceso para colocar un conxunto de clases de altura na súa forma primaria, cun exemplo que usa o motivo do Exemplo 1.
| Pasos | Exemplo |
| 1. Coloca o conxunto de clases de altura en orde normal. | [10, 0, 2, 3, 5] |
| 2. Traspón o conxunto para que a primeira clase de altura sexa 0. | T2 = [0, 2, 4, 5, 7] |
| 3. Inverte os resultados do Paso 2 e coloca o resultado en orde normal. | I0 = [5, 7, 8, 10, 0] |
| 4. Traspón o conxunto do Paso 3 para que a primeira clase de altura sexa 0. | T7 = [0, 2, 3, 5, 7] |
| 5. Compara os conxuntos dos Pasos 2 e 4. O conxunto que sexa máis compacto á esquerdaé a forma primaria. Excribe a forma primaria en parénteses sen comas. |
(02357) é a forma primaria (Exemplo 1). |
Uso do reloxo
O vídeo do Exemplo 2 (en inglés) explica as diferenzas entre a forma normal e a forma primaria e revisa o método para achalas mediante o reloxo.
https://coursemedia.gmu.edu/embed/secure/iframe/entryId/1_kkxttm1i/uiConfId/+42945861
Exemplo 2. Video lesson on prime form.
A táboa de clases de conxunto
Hai un número finito de clases de conxunto e formas primarias. Moitos recursos, como a Wikipedia, teñen táboas destas clases de conxunto, ordenadas pola cardinalidade das clases de conxunto. Verás que hai un nome numérico para cada clase de conxunto, co formato X–X; este é o número de Forte do conxunto. As táboas de clases de conxunto tamén agrupan pares de conxuntos cando son complementos (o conxunto que, xunto co conxunto orixinal, completa a colección das doce notas cromáticas). Outras características da táboa de clases de conxunto, como o vector de clases de intervalo, aparecen nos seguintes capítulos.
- Straus, Joseph N. 2016. Introduction to Post-Tonal Theory. 4th ed. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall.
- Blank clock faces (integer notation)
- Blank clock faces (letter names)
- Set Theory Quick Reference Sheet: summarizes the definitions of pitch vs. pitch class, intervals vs. interval classes, and sets vs. set classes.
- Set Class Composition prep worksheet (.pdf, .docx). Prepares students for the set class composition by asking them to find sets and transformations.
- Set Class Composition (.pdf, .docx). Builds on the prep worksheet. Asks students to compose and analyze a 24-bar ABA form piece for unaccompanied solo instrument using set classes.
A group of pitch-class sets related by transposition or inversion. Set classes are named by their prime forms; for example, (012) is a set class.
A group of pitch classes.
A name for a set class. The prime form is the version of the set class that is most compact to the left and transposed to begin on 0.
A group of pitches that are octave equivalent and enharmonically equivalent.
Unordered pitch-class intervals; that is, the smallest possible distance in semitones between two pitch classes. Thus, mi2 and ma7 are both IC 1; ma2, mi7, +6 are IC 2; mi3, ma6, +2 are IC 3, etc. The largest interval class is six semitones, because if order is disregarded, the tritone is the largest possible interval.
In set theory, a class is a group whose members are all equivalent in some sense—transposition, inversion, octave, enharmonic, etc.
In set theory, a group whose members are not necessarily related.
A chord composed entirely of seconds (major or minor), rather than thirds or any larger interval.
The act of moving pitch content by a certain interval.
The act of mirroring pitch content vertically, so that motion down becomes up and up becomes down. Inversion often preserves intervallic content.
The number of elements in a set or other grouping.
A nomenclature for set classes developed by Allen Forte; each set class has a unique Forte number. The first number refers to the cardinality of the set, and the second number is semi-arbitrary, but generally proceeds from the most compact to the most expanded set.
The set that, together with an original set, will make the complete twelve-tone collection. Complements are literal when referring to pitch class sets and abstract when referring to set classes.
