Rappels mathématiques
Les logarithmes permettent d’exécuter des calculs compliqués sur des grands nombres, en passant par des nombres moins grands, plus facilement manipulables, et en donnant la possibilité de transformer des multiplications difficiles en simples additions. Leur usage s’étend à la représentation de phénomènes physiques qui croissent exponentiellement. Les logarithmes sont aussi utiles pour faciliter des représentations graphiques dans lesquelles la représentation logarithmique avantage les petits nombres et écrase la dynamique des grands nombres.
| Progression arithmétique | Progression géométrique |
|---|---|
| 1 | 2 |
| 2 | 4 |
| 3 | 8 |
| 4 | 16 |
| 5 | 32 |
| 6 | 64 |
| 7 | 128 |
| 8 | 256 |
| 9 | 512 |
| 10 | 1024 |
Pour illustrer le concept, utilisons un principe d’Archimède et mettons en parallèle deux échelles de nombres sous la forme des deux progressions ci-dessus. Pour multiplier deux nombres de la colonne « Progression géométrique », il suffit d’additionner les deux nombres qui leur correspondent dans la colonne « Progression arithmétique » et de lire le résultat dans la colonne « Progression géométrique ».
[latex]8 \times 64 \Rightarrow 3+6=9[/latex] qui correspond à [latex]512[/latex] dans le tableau
Écrit de façon plus rigoureuse :
[latex]8 \times 64=2^{3}+2^{6}=2^{3+6}=2^{9}=512[/latex]
En voulant compter le nombre de grains dans un tas de sable, Archimède a proposé de représenter les grands nombres par des puissances de 10 (voir le texte appelé « Arénaire »). A cette époque, il n’était pas loin des logarithmes avec son astuce de calcul du produit des grands nombres.
Le logarithme décimal ou [latex]log_{10}[/latex] ou [latex]log[/latex] ou [latex]lg[/latex] ou logarithme de base 10 est une fonction continue qui transforme un produit en somme et qui vaut 1 en 10. C’est également la fonction réciproque de la fonction [latex]f(x)=10^{x}[/latex].
Pour [latex]x>0[/latex], si [latex]y=log(x)[/latex] alors [latex]x=10^{y}[/latex].
[latex]10^{1}=10\:\Longrightarrow log(10)=1[/latex]
[latex]10^{2}=100\:\Longrightarrow log(100)=2[/latex]
[latex]10^{3}=1.000\:\Longrightarrow log(1.000)=3[/latex]
[latex]10^{4}=10.000\:\Longrightarrow log(10.000)=4[/latex]
Rappels :
[latex]log\,yy\prime=log\,y+log\,y\prime[/latex]
[latex]log\,\frac{y}{y\prime}=log\,y-log\,y\prime[/latex]
[latex]log\,a^{n}=n\,log\,a[/latex]
[latex]log\,a=\frac{log\,a^{2}}{2}[/latex]
